LESSON 2.4 · UNIT Ⅰ-2
2.4

종합 활용

Distribution, Multiplication Formulas, and Radicals Combined

HOOK

모든 도구를 한꺼번에

Distribution, multiplication formulas, and radical operations — all working together.

지금까지 우리는 근호의 곱셈/나눗셈, 덧셈/뺄셈, 분모의 유리화를 따로따로 배웠습니다. 이번 차시에서는 — 모든 도구를 한꺼번에 활용해 복잡한 식을 정리합니다.

핵심은 — 분배법칙($a(b+c) = ab + ac$)과 2학년에서 배운 곱셈공식($(a+b)^2, (a+b)(a-b)$ 등)을 근호에 그대로 적용하는 것입니다. 형식은 같습니다 — 단지 변수 자리에 근호가 들어갔을 뿐.

예를 들어 $(\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 공식 그대로 적용. 새로운 규칙을 외울 필요가 없습니다 — 기존 도구를 활용할 뿐.

$(\sqrt{2}+1)^2$ ↓ $2 + 2\sqrt{2} + 1$ ↓ $= 3 + 2\sqrt{2}$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 공식 적용
DISTRIBUTION

근호와 분배법칙

$\sqrt{a}$ multiplies each term inside the parentheses.

DISTRIBUTIVE LAW · 분배법칙

근호 앞의 수가 괄호 안 모든 항에 곱해진다

분배법칙은 변수든 근호든 똑같이 적용됩니다.

$\sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = \sqrt{ab} - \sqrt{ac}$
The radical distributes — same as any number.

예시:
① $\sqrt{3}(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = \sqrt{6} + \sqrt{15}$
② $\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2$ (정리 후)
③ $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 3) = 5 + 3\sqrt{5}$

MULTIPLICATION FORMULAS

곱셈공식 — 근호 버전

The classic identities — applied to roots.

FORMULA 1 · 완전제곱 (합)

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$
예시: $(\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.  $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$.
FORMULA 2 · 완전제곱 (차)

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$
예시: $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.  $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.
FORMULA 3 ★ · 합·차의 곱 (제곱의 차)

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$   (근호가 사라진다!)
마법: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$ 공식. 근호가 제곱되어 사라집니다. 켤레식의 핵심.
예시: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 7 - 3 = 4$.   $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 12 - 2 = 10$.
INTERACTIVE

곱셈공식 전개기

Pick an expression — see how it expands step by step.

EXPANSION VIEWER

아래 식을 클릭해 전개 과정을 확인하세요

P · 01★
$\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$의 값은? (예: √6+√10)
힌트: 분배 — $\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{5}$.
P · 02★
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2$의 값은?
힌트: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.
P · 03★
$(\sqrt{3})^2$의 값은?
힌트: $(\sqrt{a})^2 = a$.
P · 04★★
$(\sqrt{2} + 1)^2$의 값은? (예: 3+2√2)
힌트: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
P · 05★★
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$의 값은?
힌트: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$. $3 - 1$.
P · 06★★
$\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})$를 정리하면? (예: 2√3-2)
힌트: $\sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2$.
P · 07★★★
$(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$의 값은?
힌트: $(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 12 - 2$.
P · 08★★★
$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$의 값은? (예: 7+2√10)
힌트: $5 + 2\sqrt{10} + 2$.
QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on combined operations.

Q · 01
$\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$의 값은?
풀이: 분배 — $\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{6} + \sqrt{10}$.
Q · 02
$(\sqrt{2} + 1)^2$의 값은?
풀이: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.
Q · 03
$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$의 값은?
풀이: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$. $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Q · 04
$(\sqrt{3})^2$의 값은?
풀이: $(\sqrt{a})^2 = a$. $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Q · 05
$(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$의 값은?
풀이: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$. $(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$.
WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying all the tools together.

EXAMPLE · 01 · 분배와 정리
$\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})$를 가장 간단한 형태로 계산하라.
핵심: 분배 후 근호를 $a\sqrt{b}$ 꼴로 정리.
STEP 1 · 분배법칙

$\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{12} - 2$.

STEP 2 · 근호 정리

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. 따라서 $\sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2$.

답: $2\sqrt{3} - 2$
EXAMPLE · 02 · 곱셈공식 활용
$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$의 값을 계산하라.
핵심: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 공식 그대로 적용.
STEP 1 · 공식 적용

$a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$로 놓으면 — $(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$.

STEP 2 · 각 항 계산

$(\sqrt{5})^2 = 5$, $2\sqrt{5}\sqrt{2} = 2\sqrt{10}$, $(\sqrt{2})^2 = 2$.

STEP 3 · 합치기

$5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$.

답: $7 + 2\sqrt{10}$
PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★
$\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$의 값은? (예: √6+√10)
힌트: 분배 — $\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{5}$.
P · 02★
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2$의 값은?
힌트: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.
P · 03★
$(\sqrt{3})^2$의 값은?
힌트: $(\sqrt{a})^2 = a$.
P · 04★★
$(\sqrt{2} + 1)^2$의 값은? (예: 3+2√2)
힌트: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
P · 05★★
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$의 값은?
힌트: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$. $3 - 1$.
P · 06★★
$\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})$를 정리하면? (예: 2√3-2)
힌트: $\sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2$.
P · 07★★★
$(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$의 값은?
힌트: $(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 12 - 2$.
P · 08★★★
$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$의 값은? (예: 7+2√10)
힌트: $5 + 2\sqrt{10} + 2$.
LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

근호를 포함한 식의 연산은 — 분배법칙과 곱셈공식을 변수에 적용하듯 그대로 활용한다. 핵심은 $(\sqrt{a})^2 = a$로 근호가 사라지는 순간을 잘 활용하는 것. 합·차의 곱 $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$은 근호를 완전히 없앤다 — 켤레식의 비밀.

분배법칙 적용 (√a + √b)² 공식 (p+q)(p−q) = p²−q² (√a)² = a